网站文件夹目录结构,江门市住房和城乡建设部网站,国家学历提升官网,全国企业信息公示查询系统官网1.埃尔米特(Hermite)插值1.1.Hermite插值多项式如果对插值函数#xff0c;不仅要求它在节点处与函数同值#xff0c;而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值#xff0c;这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的…1.埃尔米特(Hermite)插值1.1.Hermite插值多项式如果对插值函数不仅要求它在节点处与函数同值而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。设已知函数在个互异节点上的函数值和导数值要求一个至多次的多项式使得满足上述条件的多项式称为Hermite多项式。Hermite 插值多项式为其中1.2.用Matlab实现Hermite插值Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数必须编写一个 M 文件实现插值。设个节点的数据以数组(已知点的横坐标)(函数值)(导数值)输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始)个插值点以数组输入输出数组为个插值。编写一个名为herite.m的M文件function yhermite(x0,y0,y1,x);nlength(x0);mlength(x);for k1:myy0.0;for i1:nh1.0;a0.0;for j1:nif j~ihh*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;a1/(x0(i)-x0(j))a;endendyyyyh*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))y0(i));endy(k)yy;end2.样条插值许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求如飞机的机翼外形内燃机的进、排气门的凸轮曲线都要求曲线具有较高的光滑程度不仅要连续而且要有连续的曲率这就导致了样条插值的产生。2.1.样条函数的概念所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线)并使连接点处有连续的曲率。数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说给定区间的一个分划如果函数满足(1)在每个小区间上是次多项式。(2)在上具有阶连续导数。则称为关于分划的次样条函数其图形称为次样条函数。称为样条节点称为内节点称为边界点这类样条函数的全体记做则是关于分划的次多项式样条函数。次多项式样条函数的一般形式为其中和均为任意常数而在实际中最常用的是或3的情况即为二次样条函数和三次样条函数。二次样条函数对于上的分划则其中三次样条函数对于上的分划则其中利用样条函数进行插值即取插值函数为样条函数称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。2.2.二次样条函数插值首先我们注意到中含有个特定常数故应需要 n 个插值条件因此二次样条插值问题可分为两类问题(1)已知插值节点和相应的函数值以及端点(或)处的导数值(或)求使得问题(2)已知插值节点和相应的导数值以及端点(或)处的函数值(或)求使得事实上可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。对于问题(1)有引入记号为未知向量为已知向量。于是问题转化为求方程组的解的问题即可得到二次样条函数的表达式。对于问题(2)的情况类似。2.3.三次样条函数插值由于中含有个待定系数。故应需要个待定系数已知插值节点和相应的函数值这里提供了个条件还需要2个边界条件。常用的三次样条函数的边界条件有 3 种类型(1)。由这种边界条件建立的样条插值函数称为的完备三次样条插值函数。特别地时样条曲线在端点处呈水平状态。如果不知道我们可以要求与在端点处近似相等。这时以为节点作一个三次Newton插值多项式以作一个三次Newton插值多项式要求(2)。特别地称为自然边界条件。(3)(这里要求)此条件称为周期条件。2.4.三次样条插值在Matlab中的实现在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件最常用的方法就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。Matlab 中三次样条插值也有现成的函数yinterp1(x0,y0,x,spline)yspline(x0,y0,x)ppcsape(x0,y0,conds)yppval(pp,x);其中 x0,y0 是已知数据点x 是插值点y 是插值点的函数值。对于三次样条插值我们提倡使用函数 csapecsape 的返回值是 pp 形式要求插值点的函数值必须调用函数 ppval。ppcsape(x0,y0)使用默认的边界条件即 Lagrange 边界条件。ppcsape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件其值可为conds作用complete边界为一阶导数即默认的边界条件not-a-knot非扭结条件periodic周期条件second边界为二阶导数二阶导数的值[0,0]对于一些特殊的边界条件可以通过 conds 的一个矩阵来表示conds 元素的取值为12。此时使用命令ppcsape(x0,y0_ext,conds)其中 y0_ext[left, y0, right]这里 left 表示左边界的取值right 表示右边界的取值。conds(i)j 的含义是给定端点 的 阶导数即 conds 的第一个元素表示左边界的条件第二个元素表示右边界的条件conds[2,1]表示左边界是二阶导数右边界是一阶导数对应的值由 left 和 right 给出。例机床加工待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据给出(在平面情况下)用程控铣床加工时每一刀只能沿方向和方向走非常小的一步这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的坐标。下表给出的数据数据位于机翼断面的下轮廓线上假设需要得到坐标每改变0.1时的坐标。试完成加工所需数据画出曲线并求出处的曲线斜率和范围内的最小值。数据表03579111213141501.21.72.02.12.01.81.21.01.6利用Matlab编程使用Lagrange分段线性和三次样条三种插值方法计算。clc,clearx0[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];y0[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];x0:0.1:15;y1lagrange(x0,y0,x); %调用前面编写的Lagrange插值函数y2interp1(x0,y0,x);y3interp1(x0,y0,x,spline);pp1csape(x0,y0); y4ppval(pp1,x);pp2csape(x0,y0,second); y5ppval(pp2,x);fprintf(比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n)fprintf(x y1 y2 y3 y4 y5\n)xianshi[x,y1,y2,y3,y4,y5];fprintf(%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n,xianshi)subplot(2,2,1), plot(x0,y0,,x,y1), title(Lagrange)subplot(2,2,2), plot(x0,y0,,x,y2), title(Piecewise linear)subplot(2,2,3), plot(x0,y0,,x,y3), title(Spline1)subplot(2,2,4), plot(x0,y0,,x,y4), title(Spline2)dyx0ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x0处的导数ytempy3(131:151);indexfind(ytempmin(ytemp));xymin[x(130index),ytemp(index)](Lagrange函数请参见我的简书文章【数学建模算法】(23)插值和拟合拉格朗日插值)
