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切割钢条问题是运筹学和算法设计中的一个经典问题#xff0c;涉及如何最优化切割有限资源以最大化收益。这个问题经常用作动态规划教学的入门案例#xff0c;同时在工业生产中也有实际应用#xff0c;比如在金属加工业中如何切割原材料以减少浪费并增…1. 问题介绍和应用场景
切割钢条问题是运筹学和算法设计中的一个经典问题涉及如何最优化切割有限资源以最大化收益。这个问题经常用作动态规划教学的入门案例同时在工业生产中也有实际应用比如在金属加工业中如何切割原材料以减少浪费并增加销售利润。
2. 初阶问题-价值最大
定义给定一根长度为 ( n ) 的钢条和一个价格表表中列出了从长度 1 到 ( n ) 的每一种长度的钢条的售价。求切割方案使得销售收益最大化。
示例
钢条长度4价格表{1:1, 2:5, 3:8, 4:9}
最优切割方案是切割为两段每段长度为 2销售收益为 ( 5 5 10 )。
状态定义
定义 dp[i] 为长度为 ( i ) 的钢条的最大销售收益。
状态转移方程
考虑每一种可能的切割第一刀的位置状态转移方程为 初始化和边界情况
( dp[0] 0 )长度为 0 的钢条没有收益。
算法实现
def cut_rod(price, n):dp [0] * (n 1)for i in range(1, n 1):max_val float(-inf)for j in range(1, i 1):max_val max(max_val, price[j] dp[i - j])dp[i] max_valreturn dp[n]# 示例使用
price {1: 1, 2: 5, 3: 8, 4: 9}
n 4
print(最大收益:, cut_rod(price, n)) # 输出: 最大收益: 10复杂度分析
时间复杂度O(n^2)其中 ( n ) 是钢条的长度。需要计算每个长度的最优解每次计算涉及遍历所有可能的切割点。空间复杂度O(n)存储长度为 ( n ) 的 dp 数组。
算法图解
为了进一步阐明“切割钢条”问题的动态规划解法并辅以图解我们将使用一个示例和配套的说明来详细解释每一步的计算过程。我们继续用整数数组 price {1:1, 2:5, 3:8, 4:9} 和钢条长度 n 4 来演示。
首先我们初始化动态规划表 dp。表的每个单元格将代表长度为 (i) 的钢条的最大销售收益。
初始化
初始 dp 表
Length ((i))01234dp[i]00000
dp[0] 0没有钢条时收益为0。
填充过程
逐步计算每个长度的最大收益。 长度为 1: 只有一种切法即不切直接卖出。dp[1] price[1] 1 长度为 2: 切为两个长度为 1 的钢条或不切。dp[2] max(price[2], price[1] dp[1]) max(5, 11) 5 长度为 3: 切为三个长度为 1 的钢条切为一个长度为 1 和一个长度为 2 的钢条或不切。dp[3] max(price[3], price[1] dp[2], price[2] dp[1]) max(8, 15, 51) 8 长度为 4: 切为四个长度为 1 的钢条切为两个长度为 2 的钢条切为一个长度为 1 和一个长度为 3 的钢条或不切。dp[4] max(price[4], price[1] dp[3], price[2] dp[2], price[3] dp[1]) max(9, 18, 55, 81) 10
最终填充的 dp 表
Length ((i))01234dp[i]015810
图解说明
想象一个表格行表示钢条长度列代表不同的切割方案。每个单元格填入该切割方案的收益最后选择每行中的最大值填入到 dp 表中。每次切割决策基于获取最大收益的需要。 ---------------------------------------| Length | Cut Scenario |---------------------------------------| 1 | [1] - 1 || 2 | [11], [2] - 5 || 3 | [111], [12], [3] - 8 || 4 | [1111], [22], [13], [4] - 10 |---------------------------------------3.进阶问题-最优切割方案
在讨论切割钢条问题或任何涉及资源分割的优化问题时“最优切割方案”指的是通过合理分割资源如钢条、织物等以达到某个特定目标如最大化利润、最小化浪费等的一种策略或方案。在动态规划的上下文中这通常涉及确定一系列决策这些决策共同导致全局最优的结果。
最优切割方案的定义
在切割钢条的例子中钢条有一定长度每个长度有一个对应的市场价值。最优切割方案就是找到一种切割钢条的方式使得从出售这些切割后的小段钢条所获得的总收益最大化。
关键组件
目标最大化从出售切割后的钢条获得的收益。决策选择在哪些点切割钢条包括决定每一段的长度。状态用于描述问题的某个阶段或条件如钢条的当前长度。状态转移决策导致状态改变进而更新问题的当前解的方式如从更长的钢条到切割后的剩余部分。
如何找到最优切割方案 定义状态 dp[i] 表示长度为 i 的钢条的最大销售收益。 状态转移方程 dp[i] max(dp[i], price[j] dp[i-j])其中 1 ≤ j ≤ i 是可能的切割点price[j] 是长度 j 的钢条的价格。 记录切割点 使用一个辅助数组 s[i] 来记录获得 dp[i] 的最大收益时的首次切割点。 回溯切割方案 从 s[n] 开始回溯其中 n 是钢条的总长度通过连续查询 s 数组构建出全部的切割方案。
示例
假设有一根长度为 4 的钢条价格表如下
长度1234价格1589
最优切割方案为两段每段长度为 2因为 5 5 10 是所有可能切割方案中收益最高的切割为 1111 的收益为 4切割为 13 或 31 的收益为 9不切割的收益为 9。
通过定义动态规划的状态和决策过程以及记录每个决策点我们可以确定并回溯出达到最大收益的具体切割步骤即最优切割方案。这种方法不仅减少了试错的需要而且提供了一种系统的方式来解决问题。
总结
切割钢条问题通过动态规划提供了一种有效的解决方案能够处理资源优化问题并可扩展到更复杂的场景中。这种方法不仅提升了问题解决的效率也增强了理解动态规划的直观性和实用性。掌握这种基础的动态规划应用能够帮助解决更广泛的优化问题是算法学习和应用中的重要步骤。
