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向量是机器学习最底层的组成部分, 也是基础数据的表示形式, 线性代数通过将研究对象拓展到向量, 对多维数据进行统一研究, 而进化出的方法方便我们可以研究和解决真实世界中的问题
标量
标量也称为无向量, 使用一个单独的数表示数值大小, 可以有正负之分, …向量
向量是机器学习最底层的组成部分, 也是基础数据的表示形式, 线性代数通过将研究对象拓展到向量, 对多维数据进行统一研究, 而进化出的方法方便我们可以研究和解决真实世界中的问题
标量
标量也称为无向量, 使用一个单独的数表示数值大小, 可以有正负之分, 可以是实数和负数, 一般用小写变量表示, 比如 s s s表示行走距离, k k k表示直线斜率, n n n表示元素数目, 这些都可以看做标量
向量
向量是为了表达和处理高维空间的问题, 为表示一个整体会用方括号扩起来
向量的定义
将 n n n个有序的数排成一排称为 n n n维向量, 将 n n n个有次序的数排成一列, 称为 n n n维列向量 如, 称为四维列向量 x [ 3 4 5 6 ] x \left[ \begin{matrix} 3 4 5 6 \end{matrix} \right] x[3456] 称为四维行向量 x [ 3 4 5 6 ] x \left[ \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right] x 3456 如果没有声明一般为列向量
定位向量的值 y [ 3 4 5 6 ] T y\left[\begin{matrix}3 4 5 6\end{matrix}\right] ^T y[3456]T, 向量 y y y的第 i i i个分向量用 y i y_i yi表示, 如 y 2 y_2 y2表示第二个分量, 值为 4 4 4
向量的几何意义
向量既有大小又有方向, 将向量的分量看作坐标轴上的坐标, 以坐标原点为起点, 向量代表的点为重点, 可以形成一条有向线段, 有向线段的长度表示向量的大小, 箭头所指的方向表示向量的方向, 可以将任意一个位置做为起始点进行自由移动, 但一般将原点看作起始点.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches# 设置中文字体
plt.rcParams[font.sans-serif][Hiragino Sans GB] # 修改字体
plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号# 定义向量起点和终点dx, dy
x_start, y_start 0, 0
dx, dy 3, 4
dx1, dy1 4, 3# 创建图形
plt.figure(figsize(5, 5))# 绘制向量
plt.arrow(x_start, y_start, dx, dy,head_width0.1, length_includes_headTrue,colorblue, lw2)
plt.text(x_startdx, y_startdy, f({dx}, {dy}))
# 绘制向量
plt.arrow(x_start, y_start, dx1, dy1,head_width0.1, length_includes_headTrue,colorblue, lw2)
plt.text(x_startdx1, y_startdy1, f({dx1}, {dy1}))# 设置坐标轴范围
plt.xlim(-1, 6)
plt.ylim(-1, 6)# 设置坐标轴比例一致
plt.axis(equal)# 添加网格和标签
plt.grid(True)
plt.xlabel(x)
plt.ylabel(y)
plt.title(向量的表示)# 显示图形
plt.show()通常向量代表一组数, 是由使用者定义, 比如个人信息, 可以用 u s e r [ 0 18 173 78789 ] user \left[\begin{matrix}0 18 173 78789\end{matrix}\right] user[01817378789], 分别代表性别, 年龄, 身高, 和名字
向量的运算
加法
向量加法的值等于两个向量的对应分量之和 以两个二维向量加法为例, 如 r [ 3 , 1 ] t r[3,1]^t r[3,1]t和 s [ 2 , 3 ] t s[2,3]^t s[2,3]t, r s [ 2 2 , 1 3 ] t [ 5 , 4 ] t rs[22, 13]^t[5,4]^t rs[22,13]t[5,4]t
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches# 设置中文字体
plt.rcParams[font.sans-serif][Hiragino Sans GB] # 修改字体
plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号# 定义向量起点和终点dx, dy
x_start, y_start 0, 0
dx, dy 3, 4
dx1, dy1 4, 3
# 创建图形
plt.figure(figsize(5, 5))# 绘制向量
# 注意, 后面的 dx, dy 分别是以前面两个微基础的向量非坐标
plt.arrow(x_start, y_start, dx, dy,head_width0.1, length_includes_headTrue,colorblue, lw2)
plt.arrow(dx, dy, dx1, dy1,head_width0.1, length_includes_headTrue,colorblue, lw2, linestyle-)
plt.text(x_startdx, y_startdy, f({dx}, {dy}))
plt.text(x_startdx dx1, y_startdy dy1, f({dx} {dx1}, {dy} {dy1}))# 绘制向量
plt.arrow(x_start, y_start, dx1, dy1,head_width0.1, length_includes_headTrue,colorblue, lw2)
plt.arrow(dx1, dy1, dx, dy,head_width0.1, length_includes_headTrue,colorblue, lw2, linestyle-)
plt.text(x_startdx1, y_startdy1, f({dx1} {dx}, {dy1} {dy}))# 设置坐标轴范围
# plt.xlim(-1, 10)
# plt.ylim(-1, 10)# 设置坐标轴比例一致
plt.axis(equal)# 添加网格和标签
plt.grid(True)
plt.xlabel(x)
plt.ylabel(y)
plt.title(向量的表示)# 显示图形
plt.show()向量的乘法
数乘向量是数量与向量的乘法运算, 一个数 m m m乘以一个向量 r r r, 结果是向量 m r mr mr, 以而为向量数乘为例, m 3 , r [ 2 , 1 ] t m3, r[2,1]^t m3,r[2,1]t, m r [ 3 ∗ 2 , 3 ∗ 1 ] t [ 6 , 3 ] t mr[3 * 2, 3 * 1]^t[6, 3]^t mr[3∗2,3∗1]t[6,3]t
向量与数据
机器学习中, 对一个对象或者事件的描述称为样本, 反映样本某方面的表现或者性质的事项称为特征或属性, 特征的取值称为特征值, 样本组成的集合称为数据集, 向量可以看做样本的特征数
矩阵
标量是一个数, 向量是标量的拓展是一组数, 矩阵是对向量的拓展, 看作一组向量, 矩阵是线性代数最有用的工具
矩阵的定义 A [ 120 3 2 2 0.2 600 100 3 1 2 0.2 500 110 3 1 2 0.1 700 90 3 1 1 1 300 ] A \left[\begin{matrix} 120 3 2 2 0.2 600 \\ 100 3 1 2 0.2 500 \\ 110 3 1 2 0.1 700 \\ 90 3 1 1 1 300 \end{matrix}\right] A 120100110903333211122210.20.20.11600500700300 这个矩阵由4行6列组成, 就是 4 × 6 4 \times 6 4×6的矩阵
由 m × n m \times n m×n个数 a i j a_{ij} aij, i 1 , 2 , . . . , m i1,2,...,m i1,2,...,m, j 1 , 2 , . . . , n j1,2,...,n j1,2,...,n排成的 m m m行 n n n列的数表, 称为 m m m行 n n n列矩阵 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ a i j ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A \left[\begin{matrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots a_{ij} \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \end{matrix}\right] A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯aij⋯a1na2n⋮amn 记做 A A m × n ( a i j ) m × n A A_{m \times n} (a_{ij})_{m \times n} AAm×n(aij)m×n
矩阵和数据
矩阵表示关系
用来表示城市之间是否可以通行, 分别用 0 , 1 0, 1 0,1来表示, 1代表可以通行, 0代表不可以通行
通行关系ABCDA √ \surd √ √ \surd √B √ \surd √ √ \surd √C √ \surd √ √ \surd √D √ \surd √ A [ 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 ] A \left[\begin{matrix} 0 1 1 0 \\ 1 0 1 0 \\ 1 0 0 1 \\ 0 1 0 0 \end{matrix} \right] A 0110100111000010
矩阵表示直接信息
学生选修了 A , B , C , D A, B, C, D A,B,C,D四门课, 用矩阵表示
通行关系ABCD180757578298708584390759090488708280 A [ 80 75 75 78 98 70 85 84 90 75 90 90 88 70 82 80 ] A \left[\begin{matrix} 80 75 75 78 \\ 98 70 85 84 \\ 90 75 90 90 \\ 88 70 82 80 \end{matrix} \right] A 80989088757075707585908278849080
矩阵表示线性系统
描述参数, 变量和常量先行关系, 设方程组如下 { a 11 x 1 a 12 x 2 . . . a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 . . . a 2 n x n b 2 ⋮ a m 1 x 1 a m 2 x 2 . . . a m n x n b 2 \begin{cases} a_{11}x_1 a_{12}x_2 ... a_{1n}x_nb_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2 ... a_{2n}x_nb_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 a_{m2}x_2 ... a_{mn}x_nb_2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2...a1nxnb1a21x1a22x2...a2nxnb2⋮am1x1am2x2...amnxnb2 方程组左侧系数用 m × n m \times n m×n阶矩阵 A A A表示, 每行代表一个方程, 没列代表不同方程中未知数的系数. 方程组右侧用 m × 1 m \times 1 m×1阶矩阵 B B B表示, 每行代表方程右侧的值, 通常 A A A为系数矩阵, X X X为未知数矩阵, B B B为常数项矩阵, 记做 A X B AXB AXB A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A \left[\begin{matrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \end{matrix} \right] A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn X [ x 1 x 2 ⋮ x n ] X \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right] X x1x2⋮xn B [ b 1 b 2 ⋮ b n ] B \left[\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right] B b1b2⋮bn 使用Numpy很容易求出 X X X的值
矩阵和向量的创建
NumPy是Python开源的数值计算拓展
矩阵的创建
NumPy采用matrix(矩阵)和array(数组表示矩阵, 主要区别如下
matrix 是 array 的分支, matrix 和 array 通用, 但大部分 Python程序中, array 更多, 因为更加灵活更快array类型为numpy.ndarray, 是相同类型元素组成, 统称为矩阵
import numpy as np# 1. 基础矩阵创建
a np.array([[1,2],[3,4]])
print(np.array:\n, a) # 通用矩阵创建b np.zeros((3,3))
print(\nnp.zeros:\n, b) # 初始化零矩阵c np.ones((2,3), dtypeint)
print(\nnp.ones:\n, c) # 创建整型全1矩阵d np.eye(3)
print(\nnp.eye:\n, d) # 创建单位矩阵e np.diag([1,2,3])
print(\nnp.diag:\n, e) # 创建对角矩阵# 2. 数值序列生成
f np.arange(2,10,2).reshape(2,2)
print(\nnp.arangereshape:\n, f) # 生成等差序列矩阵g np.linspace(0,1,6).reshape(2,3)
print(\nnp.linspace:\n, g) # 生成等间隔矩阵# 3. 随机矩阵
h np.random.rand(3,2)
print(\nnp.random.rand:\n, h) # 生成[0,1)均匀分布矩阵i np.random.randn(2,3)
print(\nnp.random.randn:\n, i) # 生成正态分布矩阵j np.random.randint(1,10,size(3,3))
print(\nnp.random.randint:\n, j) # 生成随机整数矩阵# 4. 特殊构造方法
k np.fromfunction(lambda i,j: ij, (3,3))
print(\nnp.fromfunction:\n, k) # 通过函数构造矩阵l np.tile([1,2], (2,3))
print(\nnp.tile:\n, l) # 矩阵平铺复制m np.repeat([1,2], 3).reshape(2,3)
print(\nnp.repeat:\n, m) # 元素重复扩展# 5. 矩阵属性操作
n np.array([[1,2,3],[4,5,6]], dtypenp.float32)
print(\n矩阵属性:)
print(shape:, n.shape) # 形状
print(dtype:, n.dtype) # 数据类型
print(ndim:, n.ndim) # 维度
print(size:, n.size) # 元素总数
print(itemsize:, n.itemsize) # 单元素字节大小
np.array:[[1 2][3 4]]np.zeros:[[0. 0. 0.][0. 0. 0.][0. 0. 0.]]np.ones:[[1 1 1][1 1 1]]np.eye:[[1. 0. 0.][0. 1. 0.][0. 0. 1.]]np.diag:[[1 0 0][0 2 0][0 0 3]]np.arangereshape:[[2 4][6 8]]np.linspace:[[0. 0.2 0.4][0.6 0.8 1. ]]np.random.rand:[[0.88342915 0.31164707][0.149002 0.5399805 ][0.42382287 0.85360373]]np.random.randn:[[ 0.20843083 -1.4405944 1.2375411 ][ 0.36852983 0.5106739 -0.54602658]]np.random.randint:[[3 7 5][8 2 1][4 9 6]]np.fromfunction:[[0. 1. 2.][1. 2. 3.][2. 3. 4.]]np.tile:[[1 2 1 2 1 2][1 2 1 2 1 2]]np.repeat:[[1 1 1][2 2 2]]矩阵属性:
shape: (2, 3)
dtype: float32
ndim: 2
size: 6
itemsize: 4
