温州市平阳县建设局网站,广州百度seo排名,泸州城建设档案管网站,推广互联网工具是什么意思文章目录 齐次线性方程组解的结构#x1f388;解的性质齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解基础解系通解 定理:齐次线性方程组基础解系存在定理齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)#x1f47a;应用和示例推论1推论2推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质非自由未知… 文章目录 齐次线性方程组解的结构解的性质齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解基础解系通解 定理:齐次线性方程组基础解系存在定理齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)应用和示例推论1推论2推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质非自由未知数的选取方法(最左方法)基础解系和通解形式的不唯一性 证明分析证法1齐次线性方程的基础解系构造证明所构造的向量组是基础解系 证法2 小结基础解系构造提要例补充再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系非最左方法选取非自由变量 齐次线性方程组解的结构
解的性质
齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解 设 ξ 1 , ⋯ , ξ r \xi_1,\cdots,\xi_r ξ1,⋯,ξr都是 ( 2 ) (2) (2)的解,则 ∑ i 1 r k i ξ i \sum_{i1}^rk_i\xi_{i} ∑i1rkiξi 证明1: 对于齐次线性 ( 2 ) (2) (2),如果两向量 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2都是该方程组的解向量,那么对于 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2的线性组合 ξ 3 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 \xi_3k_1\xi_1k_2\xi_2 ξ3k1ξ1k2ξ2也是该方程组的解向量 A ξ i 0 , i 1 , 2 A\xi_i0,i1,2 Aξi0,i1,2 A ξ 3 A ( ∑ i 1 2 k i ξ i ) ∑ i 1 2 k i A ξ i A\xi_3A(\sum\limits_{i1}^{2}k_i\xi_i)\sum\limits_{i1}^{2}k_iA\xi_i Aξ3A(i1∑2kiξi)i1∑2kiAξi而 k i A ξ i 0 k_iA\xi_i0 kiAξi0,所以 A ξ 3 0 A\xi_30 Aξ30 类似的,可以得到,齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解 证明2: 两个解向量的和仍然是解向量,再证明解向量的 k k k倍仍然是解向量,即可证明任意个解向量的常数倍之和(也就任意个解向量的线性组合)仍然是解向量 事实上,齐次线性方程组的全部解可以由有限个解向量(的线性组合)表示
基础解系
方程 ( 2 ) (2) (2)的所有解向量构成的向量集合(向量组)记为 S S S设 S S S存在一个极大无关组 S 0 : ξ 1 , ⋯ , ξ t S_0:\xi_1,\cdots,\xi_t S0:ξ1,⋯,ξt,那么 S S S中的向量都能由 S 0 S_0 S0线性表示, S 0 S_0 S0称为 ( 2 ) (2) (2)的一个基础解系
通解 最大无关组 S 0 S_0 S0的任何线性组合 x ∑ i 1 r k i ξ i \bold{x}\sum_{i1}^rk_i\xi_{i} x∑i1rkiξi,(, k i , i 1 , 2 ⋯ , t k_i,i1,2\cdots,t ki,i1,2⋯,t为任意实数)是 ( 2 ) (2) (2)的解,能够表示 S S S中的任意向量,所有也成为 ( 2 ) (2) (2)的通解 把 A x 0 Ax0 Ax0全体解所构成的集合记为 S S S,设 Φ ξ 1 , ⋯ , ξ s \Phi\xi_1,\cdots,\xi_s Φξ1,⋯,ξs是S的一个极大无关组, R ( A ) r , s n − r R(A)r,sn-r R(A)r,sn−r 通解:最大无关组 Φ \Phi Φ的任意向量 x Φ ( k 1 , ⋯ , k s ) T ∑ i 1 s k i ξ i x\Phi(k_1,\cdots,k_s)^T\sum\limits_{i1}^{s}k_i\xi_i xΦ(k1,⋯,ks)Ti1∑skiξi性组合都是方程 A x 0 Ax0 Ax0的解 通解(是 Φ \Phi Φ的生成子空间)齐次线性方程组的通解可以描述(表出)方程组的任意一个解 齐次线性方程组 A x 0 Ax0 Ax0的解集的极大无关组称为该齐次方程组的基础解系,要求齐次线性方程的通解,只需要求它的基础解系
定理:齐次线性方程组基础解系存在定理
若 R ( A ) n R(A)n R(A)n,方程 ( 2 ) (2) (2)只有唯一解零解,不存在基础解系若 R ( A ) n R(A)n R(A)n,方程 ( 2 ) (2) (2)存在非零解(无穷多解),一定存在基础解系
齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)
方程组解集的秩 R ( S ) R(S) R(S),即基础解系的秩的性质是十分有用的性质揭示了方程(2)系数矩阵的秩 R ( A ) R(\bold{A}) R(A),解集的秩 R ( S ) R(S) R(S)与未知数(元)个数 n n n的关系若方程(2)存在基础解系 A 0 A_0 A0,则包含的向量的个数为 n − r n-r n−r,即方程(2)的解集 S S S的秩为 R s n − r R_sn-r Rsn−r,或者作 R ( A ) R ( S ) n R(A)R(S)n R(A)R(S)n另一种描述:设 m × n m\times{n} m×n的矩阵 A \bold{A} A的秩为 R ( A ) r R(\bold{A})r R(A)r,则 n n n元齐次线性方程组 A x 0 \bold{Ax0} Ax0的解集 S S S的秩 R s n − r R_{s}n-r Rsn−r同时 n − r n-r n−r是方程(2)的通解中包含的自由未知数的个数;非自由未知数的个数则是系数矩阵的秩 r R ( A ) rR(\bold{A}) rR(A)
应用和示例
推论1
设 A m × n B n × l O \bold{A}_{m\times{n}}\bold{B}_{n\times{l}}O Am×nBn×lO,则 R ( A ) R ( B ) ⩽ n R(\bold{A})R(\bold{B})\leqslant{n} R(A)R(B)⩽n 令 A ( a 1 , ⋯ , a n ) \bold{A}(\bold{a}_{1},\cdots,\bold{a}_{n}) A(a1,⋯,an); B ( b 1 , ⋯ , b l ) \bold{B}(\bold{b}_{1},\cdots,\bold{b}_{l}) B(b1,⋯,bl), A , B A,B A,B分别表示 A , B \bold{A,B} A,B列向量组矩阵方程 A B O \bold{ABO} ABO等价于向量方程组: A ( b 1 , ⋯ , b l ) 0 \bold{A}(\bold{b}_{1},\cdots,\bold{b}_{l})\bold{0} A(b1,⋯,bl)0,即 A b i 0 \bold{A}\bold{b}_i\bold{0} Abi0, i 1 , ⋯ , l i1,\cdots,l i1,⋯,l 可以看出 b i \bold{b}_i bi都是方程 A x 0 \bold{Ax0} Ax0的解设 A x 0 \bold{Ax0} Ax0的解集为 S S S,则 b i ∈ S \bold{b}_i\in{S} bi∈S,说明 B B B是 S S S的部分组,所以 R ( B ) ⩽ R ( S ) R(B)\leqslant{R(S)} R(B)⩽R(S)而 R ( S ) n − R ( A ) R(S)n-R(A) R(S)n−R(A),所以 R ( B ) ⩽ n − R ( A ) R(B)\leqslant{n-R(A)} R(B)⩽n−R(A)所以 R ( A ) R ( B ) ⩽ n R(\bold{A})R(\bold{B})\leqslant{n} R(A)R(B)⩽n
推论2
设 n n n元齐次线性方程组 A x 0 \bold{Ax0} Ax0与 B x 0 \bold{Bx0} Bx0通解,则 R ( A ) R(\bold{A}) R(A) R ( B ) R(\bold{B}) R(B) 分别设两个方程组的解集为 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2,则 S 1 S 2 S_1S_2 S1S2则 R ( A ) n − R ( S 1 ) R(\bold A)n-R(S_1) R(A)n−R(S1); R ( B ) n − R ( S 2 ) R(\bold B)n-R(S_2) R(B)n−R(S2)又 R ( S 1 ) R ( S 2 ) R(S_1)R(S_2) R(S1)R(S2),所以 R ( A ) R(\bold{A}) R(A) R ( B ) R(\bold{B}) R(B) 这表明,当 A , B \bold{A,B} A,B的列数相同,(方程 A x 0 , B x 0 \bold{Ax0},\bold{Bx0} Ax0,Bx0包含数量相同的未知数)时欲证 R ( A ) R ( B ) R(\bold{A})R(\bold{B}) R(A)R(B),可以转换为证若 A x 0 , B x 0 \bold{Ax0},\bold{Bx0} Ax0,Bx0两个方程组同解
推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质 R ( A T A ) R(\bold{A^{T}{A}}) R(ATA) R ( A ) R(\bold A) R(A)证明:设 A \bold{A} A是 m × n m\times{n} m×n的令 B A T A \bold{BA^T{A}} BATA,显然 B \bold{B} B是 n × n n\times{n} n×n的 由此可见, A , B \bold{A,B} A,B有相同的列数若 x \bold{x} x满足 A x 0 \bold{Ax0} Ax0,则 A T ( A x ) 0 \bold{A^T{(Ax)0}} AT(Ax)0也成立,由结合律: B x 0 \bold{Bx0} Bx0若 x \bold{x} x满足 B x 0 \bold{Bx0} Bx0( n × 1 n\times{1} n×1),对其两边取转置运算, x T B T 0 \bold{x^{T}B^{T}}\bold{0} xTBT0( 1 × n 1\times{n} 1×n),即 x T A T A 0 \bold{x^{T}A^{T}A0} xTATA0( 1 × n 1\times{n} 1×n),再对两边同时右乘以 x \bold{x} x( n × 1 n\times{1} n×1),得 ( x T A T ) ( A x ) 0 \bold{(x^{T}A^{T})(Ax)0} (xTAT)(Ax)0,即 ( A x ) T ( A x ) 0 \bold{(Ax)^T(Ax)0} (Ax)T(Ax)0,由 X T X O ⇒ X O \bold{X^T{X}O}\Rightarrow{\bold{XO}} XTXO⇒XO可知, A x 0 \bold{Ax0} Ax0可见 A x 0 , B x 0 \bold{Ax0},\bold{Bx0} Ax0,Bx0同解,由推论2, R ( A ) R ( B ) R(\bold{A})R(\bold{B}) R(A)R(B),所以结论成立
非自由未知数的选取方法(最左方法)
若方程 ( 2 ) (2) (2)的秩 R ( A ) r n R(A)rn R(A)rn,将前 r r r个未知数 x 1 , ⋯ , x r x_1,\cdots,x_r x1,⋯,xr作为非自由变量;其余 n − r n-r n−r个 x r 1 , ⋯ , x n x_{r1},\cdots,x_{n} xr1,⋯,xn作为自由变量种方式选择非自由变量和自由变量的方法是最常用的,称为最左方法
基础解系和通解形式的不唯一性
当 R ( A ) r n R(A)rn R(A)rn时,方程 ( 2 ) (2) (2)的基础解系包含 n − r n-r n−r个向量,因此任意 n − r n-r n−r个线性无关解向量都是 ( 2 ) (2) (2)的基础解系即方程 ( 2 ) (2) (2)的基础解系不唯一,其通解形式也不唯一
证明
分析 方程 ( 2 ) (2) (2)的系数矩阵 A \bold{A} A通过初等变换(通解初等变换)可以得到如下形式的强化行最简形矩阵 B ( 1 0 ⋯ 0 c 1 , 1 ⋯ c 1 , n − r 0 1 ⋯ 0 c 2 , 1 ⋯ c 2 , n − r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 c r , 1 ⋯ c r , n − r 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ) ( E r C O O ) B\begin{pmatrix} 1 0 \cdots 0 c_{1,1} \cdots c_{1,n-r} \\ 0 1 \cdots 0 c_{2,1} \cdots c_{2,n-r} \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \\ 0 0 \cdots 1 c_{r,1} \cdots c_{r,n-r}\\ 0 0 \cdots 0 0 \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots\\ 0 0 \cdots 0 0 \cdots 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_rC\\ OO \end{pmatrix} B 10⋮00⋮001⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯00⋮10⋮0c1,1c2,1⋮cr,10⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1,n−rc2,n−r⋮cr,n−r0⋮0 (ErOCO) 按最左方法,其反映的是 x 1 , ⋯ , x r x_1,\cdots,x_r x1,⋯,xr是非自由未知数时, x r 1 , ⋯ , x n x_{r1},\cdots,x_{n} xr1,⋯,xn是自由未知数(共 s n − r sn-r sn−r个) 其中 s s s描述了方程组 ( 2 ) (2) (2)的自由度(基础解系包含的线性无关向量的多样性) 非自由未知数用自由未知数表示为式(1): x i − ∑ k 1 s c i , k × x r k ; ( i 1 , 2 , ⋯ , r ) x_i-\sum\limits_{k1}^{s} c_{i,k}\times x_{rk}; (i1,2,\cdots,r) xi−k1∑sci,k×xrk;(i1,2,⋯,r) ξ ( x 1 ⋮ x r x r 1 ⋮ x n ) ( − ∑ i 1 s c 1 , i × x r i ⋮ − ∑ i 1 s c r , i × x r i x r 1 ⋮ x n ) \xi\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sum\limits_{i1}^{s} c_{1,i}\times x_{ri} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i1}^{s} c_{r,i}\times x_{ri} \\ x_{r1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} ξ x1⋮xrxr1⋮xn −i1∑sc1,i×xri⋮−i1∑scr,i×xrixr1⋮xn 设方程 ( 2 ) (2) (2)的全部解的集合为 S S S
证法1
齐次线性方程的基础解系构造 ( 2 ) (2) (2)的解是 n n n维向量,分两部分,前 r r r为非自由未知数,后 s s s维为自由未知数 设计特解时,先选定后 s s s维 为了简单方便起见,通常取解向量的后s维为单位坐标向量(向量中只含有一个0,1两种元素,且只有一个元素是1) q i ( x r 1 ⋮ x n ) q 1 ( 1 0 ⋮ 0 ) ; q 2 ( 0 1 ⋮ 0 ) ; ⋯ ; q s ( 0 0 ⋮ 1 ) q_i\begin{pmatrix} x_{r1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \\ q_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; q_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; q_s\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} qi xr1⋮xn q1 10⋮0 ;q2 01⋮0 ;⋯;qs 00⋮1 计算前 r r r维(将 q i , i 1 , 2 , ⋯ , s q_i,i1,2,\cdots,s qi,i1,2,⋯,s代入式(1)) p i ( x 1 ⋮ x r ) p_i\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ \end{pmatrix} pi x1⋮xr p 1 ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋯ − c r , 1 ) ; p 2 ( − c 1 , 2 − c 2 , 2 ⋯ − c r , 2 ) ; ⋯ ; p s ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋯ − c r , n − r ) p_1\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1} \end{pmatrix}; p_2\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \end{pmatrix}; \cdots; p_s\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r} \end{pmatrix} p1 −c1,1−c2,1⋯−cr,1 ;p2 −c1,2−c2,2⋯−cr,2 ;⋯;ps −c1,n−r−c2,n−r⋯−cr,n−r ξ ( p q ) \xi\begin{pmatrix} p\\q \end{pmatrix} ξ(pq) ξ 1 ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋯ − c r , 1 1 0 ⋮ 0 ) ; ξ 2 ( − c 1 , 2 − c 2 , 2 ⋯ − c r , 2 0 1 ⋮ 0 ) ; ⋯ ; ξ s ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋯ − c r , n − r 0 0 ⋮ 1 ) ; \xi_1\begin{pmatrix} -c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots\\ -c_{r,1}\\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \xi_2\begin{pmatrix} -c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots\\ -c_{r,2} \\ 0\\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix}; \cdots; \xi_s\begin{pmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots\\ -c_{r,n-r}\\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix}; ξ1 −c1,1−c2,1⋯−cr,110⋮0 ;ξ2 −c1,2−c2,2⋯−cr,201⋮0 ;⋯;ξs −c1,n−r−c2,n−r⋯−cr,n−r00⋮1 ;
证明所构造的向量组是基础解系 线性无关性: 方法1:矩阵 D ( ξ 1 , ⋯ , ξ s ) \bold{D}(\xi_1,\cdots,\xi_{s}) D(ξ1,⋯,ξs)中包含 E s \bold{E}_{s} Es,且 ∣ E n − r ∣ s ≠ 0 |\bold{E}_{n-r}|s\neq{0} ∣En−r∣s0, R ( D ) s R(\bold{D})s R(D)s所以 D : ξ 1 , ⋯ , ξ s {D}:\xi_1,\cdots,\xi_{s} D:ξ1,⋯,ξs线性无关方法2:由 ξ i \xi_i ξi的结构可以看出, ξ i \xi_i ξi的后s维是构成的向量之间是线性无关的,而线性无关组的延伸组依然线性无关 S S S的全部向量可以由 D D D线性表示: 设向量 ξ ( k 1 , ⋯ , k r , k r 1 , ⋯ , k n ) \xi(k_1,\cdots,k_r,k_{r1},\cdots,k_n) ξ(k1,⋯,kr,kr1,⋯,kn)是 S S S的任意一个向量, 构造向量 D D D的线性组合: ξ ∗ ∑ i 1 s k r i ξ i \xi^*\sum\limits_{i1}^{s}k_{ri}\xi_i ξ∗i1∑skriξi则 ξ ∗ \xi^* ξ∗也是方程 ( 2 ) (2) (2)的通解,并且表出系数来自需要被 D D D线性表示的向量 ξ \xi ξ的第 r 1 , ⋯ , n r1,\cdots,n r1,⋯,n个元容易发现, ξ ∗ \xi^{*} ξ∗和 ξ \xi ξ在第 r 1 , ⋯ , n r1,\cdots,n r1,⋯,n维是相同的又根据前面的分析以及式(1),方程 ( 2 ) (2) (2)的解向量包括非自由变量和自由变量,其中非自由变量取决于自由变量的取值,所以非自由变量完全确定了整个解向量(若两个解向量的非自由未知数一样,则两个解向量相等)所以 ξ ∗ ξ \xi^*\xi ξ∗ξ,即任意解向量都能由 ξ ∗ \xi^* ξ∗(即 D D D的线性组合)表示所以 S S S的全部向量可以由 D D D线性表示 所以 D D D是 S S S的极大无关组,所以 D D D方程 ( 2 ) (2) (2)的基础解系
证法2 令自由未知量 x r i x_{ri} xri分别取 k i k_i ki, i 1 , 2 , ⋯ , s i1,2,\cdots,s i1,2,⋯,s;代入式 ( 1 ) (1) (1);则方程 ( 2 ) (2) (2)的通解表示为 ξ ( x 1 ⋮ x r x r 1 ⋮ x n ) ( x 1 ⋮ x r k 1 ⋮ k s ) ( − ∑ i 1 s c 1 , i × k i ⋮ − ∑ i 1 s c r , i × k i k 1 ⋮ k s ) k 1 ( − c 1 , 1 ⋮ − c r , 1 1 ⋮ 0 ) ⋯ k s ( − c 1 , s ⋮ − c r , s 0 ⋮ 1 ) \xi\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sum\limits_{i1}^{s} c_{1,i}\times k_{i} \\ \vdots \\ -\sum\limits_{i1}^{s} c_{r,i}\times k_{i} \\ k_{1} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} k_1\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} \cdots k_s\begin{pmatrix} -c_{1,s} \\ \vdots \\ -c_{r,s} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{pmatrix} ξ x1⋮xrxr1⋮xn x1⋮xrk1⋮ks −i1∑sc1,i×ki⋮−i1∑scr,i×kik1⋮ks k1 −c1,1⋮−cr,11⋮0 ⋯ks −c1,s⋮−cr,s0⋮1 将上述通解记为: ξ ∑ i 1 s k i ξ i \xi\sum_{i1}^{s}k_i\xi_i ξ∑i1skiξi,涉及的向量记为向量组: D ( ξ 1 , ⋯ , ξ s ) \bold{D}(\xi_1,\cdots,\xi_{s}) D(ξ1,⋯,ξs) 通解 ξ \xi ξ可以表示 S S S中的任意向量 而 D D D中后 s s s行构成一个 s s s阶单位阵,其行列式为1(非0),所以 R ( D ) s R(D)s R(D)s所以 D D D线性无关 所以 D D D是方程 ( 2 ) (2) (2)的一个基础解系解系
小结
上述两种方法一种是先求基础解系再求通解;另一种是先求通解再求基础解系
基础解系构造提要 可以从 A x 0 Ax0 Ax0的系数矩阵A通过初等变换转化为(包含r阶单位子阵,rR(A))的强化行最简矩阵U, r R ( A ) , s n − r rR(A),sn-r rR(A),sn−r U ( E r × r T r × s 0 t × r 0 t × s ) r s n D ( − T r × s E s × s ) U\begin{pmatrix} E_{r\times{r}}T_{r\times{s}}\\ 0_{t\times{r}}0_{t\times{s}} \end{pmatrix} \\ rsn \\ \bold{D}\begin{pmatrix} -T_{r\times{s}} \\ E_{s\times{s}} \end{pmatrix} U(Er×r0t×rTr×s0t×s)rsnD(−Tr×sEs×s) D : ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ s D:\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s D:ξ1,ξ2,⋯,ξs是 D \bold{D} D的列向量组 D D D就是 A x 0 \bold{Ax0} Ax0的基础解系 我们把注意力集中在分块 P r × s − T r × s P_{r\times{s}}-T_{r\times{s}} Pr×s−Tr×s上即可,在此基础上,追加一个s阶的单位阵; 最终该矩阵的每个列向量就是基础解系的一个解向量成员 方法1:不一定要化作强化行最简形矩阵,也可以考虑化为准行最简形矩阵(W)(和强化行最简形矩阵相差若干列交换的调整) 从 W W W中读出 r r r个非自由未知数用 n − r n-r n−r个自由未知数的表达式取定合适的 n − r n-r n−r个组值(每组值可以来自 n − r n-r n−r阶单位阵的不同列),得到 n − r n-r n−r个解向量作为基础解系得到通解 方法2:将行简化矩阵进一步调整为 U U U的形式可能要做列交换,这会使得解向量中的元素不再和 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn一一对应,需要注意这一点,记录列交换的情况,然后调整顺序使之对应 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn
例 设 A x 0 \bold{Ax0} Ax0: A ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ r ( 1 0 − 2 7 − 3 7 0 1 − 5 7 − 4 7 0 0 0 0 ) \bold{A} \begin{pmatrix} 11-1-1\\ 2-532\\ 7-731 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} 10-\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\\ 01-\frac{5}{7}-\frac{4}{7}\\ 0000 \end{pmatrix} A 1271−5−7−133−121 ∼r 100010−72−750−73−740 R ( A ) 2 4 R(A)24 R(A)24方程有无穷多解,其基础解系 S 0 S_0 S0存在且 R ( S 0 ) n − r 4 − 2 2 R(S_0)n-r4-22 R(S0)n−r4−22 令 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2为非自由未知数, x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4为自由未知数 x 1 2 7 x 3 3 4 x 4 x 2 5 7 x 3 4 7 x 4 x_1\frac{2}{7}x_3\frac{3}{4}x_4\\ x_2\frac{5}{7}x_3\frac{4}{7}x_4 x172x343x4x275x374x4 基础解系 令取2组自由未知数的取值: q 1 q_1 q1 ( 1 0 ) \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} (10), q 2 q_2 q2 ( 0 1 ) \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} (01),则对应的非自由未知数向量: p 1 p_1 p1 ( 2 7 5 7 ) \begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\end{pmatrix} (7275), q 2 q_2 q2 ( 3 7 4 7 ) \begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\end{pmatrix} (7374)即得方程组得解集中的两个线性无关的特解 ξ 1 ( 2 7 5 7 1 0 ) \xi_1\begin{pmatrix}\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}\\1\\0\end{pmatrix} ξ1 727510 ; ξ 2 ( 3 7 4 7 0 1 ) \xi_2\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\\frac{4}{7}\\0\\1\end{pmatrix} ξ2 737401 (Note:如果用构造提要一节中,可以直接得出 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2) 通解 ξ ∑ i 1 2 k i ξ i \xi\sum_{i1}^{2}k_i\xi_i ξ∑i12kiξi,其中 k i ∈ R k_i\in\mathbb{R} ki∈R
补充
结合上面的例子讨论
再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系
例如 q 1 q_1 q1 ( 1 1 ) \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} (11), q 2 q_2 q2 ( 1 − 1 ) \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} (1−1), q 1 , q 2 q_1,q_2 q1,q2线性无关(不成比例) η 1 ( 5 7 7 9 1 1 ) \eta_1\begin{pmatrix}\frac{5}{7}\\\frac{7}{9}\\1\\1\end{pmatrix} η1 759711 ; η 2 ( − 1 7 1 7 1 − 1 ) \eta_2\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\\1\\-1\end{pmatrix} η2 −71711−1 则 η 1 , η 2 \eta_1,\eta_2 η1,η2与 ξ 1 , ξ 2 \xi_1,\xi_2 ξ1,ξ2同为 S S S的极大无关组,都是方程组的基础解系
非最左方法选取非自由变量 非自由变量的选取不按最左方法时,求解基础解系的过程相较于上节讨论的标准过程会有所不同 例如 x 1 x_1 x1若按最左方法会被归为非自由未知数,但是这假设 x 1 x_1 x1被作为自由未知数 相应的,需要有其他未知数 x j , j ≠ 1 x_j,j\neq{1} xj,j1代替原 x 1 x_1 x1作为非自由未知数在标准过程中,行最简形矩阵的第1列是 e 1 ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T \bold{e}_1(1,0,\cdots,0)^T e1(1,0,⋯,0)T在这里利用行变换,将 A \bold{A} A的第 j j j列(记为 c j c_j cj,是 x j x_j xj的系数, j ≠ 1 j\neq{1} j1)变换成 e 1 \bold{e}_1 e1类似的,共可以选出 n − r n-r n−r个自由未知数设为 x j k x_{j_k} xjk, ( k 1 , ⋯ , n − r ) (k1,\cdots,n-r) (k1,⋯,n−r),需要通过初等行变换,将 A \bold{A} A中的其他 r r r个非自由未知数分别转换为 e i \bold{e}_{i} ei( e i \bold{e}_{i} ei表示 n n n维单位坐标向量中第 i i i维是1的列向量, j k j_k jk之间互不相等)此时的矩阵虽然不是行最简形矩阵,(这类矩阵不是唯一的),其具有和行最简形矩阵相同的作用,称其为准行最简形矩阵都能够利用 r r r个 n n n维单位坐标向量读出 n − r n-r n−r个自由未知数表示 r r r个非自由未知数的表出系数 本例中,我们打算将 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2作为自由未知数来表示非自由未知数 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4, A ( 1 1 − 1 − 1 2 − 5 3 2 7 − 7 3 1 ) ∼ r ( − 5 2 0 1 4 − 3 1 0 0 0 0 0 ) \bold{A} \begin{pmatrix} 11-1-1\\ 2-532\\ 7-731 \end{pmatrix} \overset{r}{\sim} \begin{pmatrix} -5201\\ 4-310\\ 0000 \end{pmatrix} A 1271−5−7−133−121 ∼r −5402−30010100 类似的,可以看出 x 3 − 4 x 1 3 x 2 x_3-4x_13x_2 x3−4x13x2; x 4 5 x 1 − 2 x 2 x_45x_1-2x_2 x45x1−2x2, x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2\in\mathbb{R} x1,x2∈R 此时基础解系可以取 ξ 1 ( 1 0 − 4 5 ) ; ξ 2 ( 0 1 3 − 2 ) \xi_1\begin{pmatrix} 1\\0\\-4\\5 \end{pmatrix}; \xi_2\begin{pmatrix} 0\\1\\3\\-2 \end{pmatrix} ξ1 10−45 ;ξ2 013−2 通解为 ξ ∑ i 1 2 k i ξ i \xi\sum_{i1}^{2}k_i\xi_i ξ∑i12kiξi
