江西网站开发公司,重庆招投标综合信息网,wordpress定制主题开发,医院手机网站建设第四章 线性方程组
一、线性方程组的基本概念与表达形式 二、线性方程组解的基本定理
定理1 设A为mXn矩阵,则
(1)齐次线性方程组AX0 只有零解的充分必要条件是r(A)n;
(2)齐次线性方程组AX0 有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是r(A)#xff1c;n
推论1 设A为n阶矩阵,则…第四章 线性方程组
一、线性方程组的基本概念与表达形式 二、线性方程组解的基本定理
定理1 设A为mXn矩阵,则
(1)齐次线性方程组AX0 只有零解的充分必要条件是r(A)n;
(2)齐次线性方程组AX0 有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是r(A)n
推论1 设A为n阶矩阵,则
(1)齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是|A|≠0;
(2)齐次线性方程组AX0有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是|A|0
注意:
①齐次线性方程组系数矩阵的秩相当于方程组中约束条件的个数当 r(A)n 时表示齐次线性方程组中未知数的个数与约束条件的个数相等,即没有自由变量,故齐次线性方程组只有零解;当 r(A)n 时,表示齐次线性方程组中约束条件的个数小于未知数的个数即有自由变量,故齐次线性方程组有无数个解 定理2 设A为mxn矩阵,增广矩阵A增(A:b),则
(1)非齐次线性方程组AXb 有解的充分必要条件是r(A增)r(A),其中当r(A增)r(A)n时,非齐次线性方程组AXb有唯一解;当r(增A)r(A)n 时,非齐次线性方程组AXb有无数个解;
(2)非齐次线性方程组AXb 无解的充分必要条件是r(A增)≠r(A)
推论2 设A是n阶矩阵,则
(1)非齐次线性方程组AXb 有解的充分必要条件是r(A增)r(A)其中当|A|≠0时方程组有唯一解;当|A|0 时,方程组有无数个解;
(2)非齐次线性方程组AXb 无解的充分必要条件是r(A增)≠r(A)
注意: 三、线性方程组解的结构
1.设X1,X2,…,Xs为齐次线性方程组AX0的一组解,则k1X1,k2X2…ksxs也为齐次线性方程组AX0的解,其中k1,k2,…,ks为任意常数
2.设η0为非齐次线性方程组AXb 的一个解,X1,X2,…,Xn为齐次线性方程组AX0的一组解,则k1X1k2X2…ksxsη0为非齐次线性方程组 AXb 的解
3.设η1,η2为非齐次线性方组AXb 的两个解则η2-η1为齐次性方组AX0的一个解.
4.设X1,X2,…,Xs,为非齐次线性方程组AXb的一组解,则k1X1k2X2…ksXs为AXb的解的充分必要条件是k1k2…ks1.
5.设η1,η2,…,ηs,为非齐次线性方程组AXb 的一组解,则 k1η1k2η2···ksηs,为齐次线性方程组AX0 的解的充分必要条件是 k1k2…ks0.
四、线性方程组的组解
1.齐次线性方程组 AX0 的基础解系与通解
(1)基础解系——设r(A)rn,则AX0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组AX0的一个基础解系,当r(A)r时,AX0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r个
求齐次线性方程组的基础解系时,把其系数矩阵通过初等行变换进行阶梯化(系数矩阵进行初等行变换相当于方程组的同解变形),每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是约束变量,其余变量为自由变量,从而可以确定基础解系(最好把每行第一个非零元素化为1(归一性),且其所在的列其余元素都化为零(排他性))
如:对齐次线性方程组AX0的系数矩阵A 进行初等行变换化为 则r(A)35,方程组AX0的基础解系含有n-r5-32个线性无关的解向量,其中x1,x2,x3为约束变量,x4,x5为自由变量,(x4,x5)分别取(1,0)和(0,1),则基础解系为
ξ1(-2,1,一3,1,0)^T ξ2(3,-4,2,0,1)^T
又如:对齐次线性方程组AX0的系数矩阵A进行初等行变换化为 则r(A)25,方程组AX0的基础解系含有n-r5-23 个线性无关的解向量,其中x1,x3为约束变量,x2,x4,x5为自由变量,(x2,x4,x5)分别取(1,0,0),(0,1,0)及(0,0,1),则基础解系为
ξ1(1,1;0,0,0)^T ξ2(-2,0,-1,1,0)^T ξ3(-4,0,2,0,1)^T
注意:
设A为mXn 矩阵且r(A)rn,所谓AX0的基础解系,即满足如下三个条件的向量组:
(1)该向量组中每个向量都是AX0的解;
(2)该向量组线性无关:
(3)该向量组所含解向量的个数等于n-r
(2)通解——设ξ1,ξ2,…,ξn-r为齐次线性方程组AX0的一个基础解系,则称k1ξ1k2ξ12…k(n-r)ξ(n-r)为齐次线性方程组AX0的通解,其中k1,k2,…,k(n-r)为任意常数.
2.非齐次线性方程组AXb的通解
设r(A)r(A增)rn,且ξ1,ξ2,…,ξ(n-r)b的导出方程组AX-0的一个基础解系η0为AXb 的一个解,则AXb的通解为
k1ξ1k2ξ2…k(n-r)ξ(n-r)η0其中k1,k2,…,k(n-r)为任意常数
注意: 五、线性方程组的理论延伸
定理1 设A是mXn矩阵,B是nXs矩阵,若AB0则B的列向量组为方程组AX0的解
定理2 设方程组AX0与BX0为同解方程组则r(A)r(B),反之不对
定理3 设方程组AX0的解为BX0的解,则r(A)≥r(B)
注意:
1.若方程组AX0的解为方程组BX0的解方程组BX0的解不全是方程组AX0的解则r(A)r(B)
2.若方程组AX0的解为方程组 BX0的解且r(A)r(B),则方程组AX0与方程组BX0同解
定理4
